Обчислення інтегралів у Lazarus

Метод Сімпсона.

Цей метод більш точний у порівнянні з методами прямокутників та трапецій.

Формула Сімпсона (також Ньютона-Сімпсона) відноситься до прийомів чисельного інтегрування. Отримала назву на честь британського математика Томаса Сімпсона (1710-1761).

Суть прийому полягає у наближенні підінтегральної функції на відрізку [a, b] інтерполяційним многочленом другого ступеня p2(x), тобто наближення графіка функції на відрізку параболою. 

Геометрично ілюстрація формули Сімпсона у тому, що у кожному з здвоєних часткових відрізків замінюємо дугу даної кривої дугою графіка квадратного тричлена.

За формулою Сімпсона при деякому етапі h обчислюють інтеграл. Потім крок збільшують удвічі та знову обчислюють інтеграл. Друге, грубіше обчислення інтеграла служить з метою оцінки точності першого, більш точного. Усі цифри першого та другого обчислень збігаються в результаті, а також перша неточна цифра більш точного результату вважаються вірними. Наприклад, якщо точніше обчислення число 1,4673, а друге - 1,4657, то 1,467 - правильне значення інтеграла (у ньому 4-значні цифри - вірні).

Для більш грубого розрахунку ніяких інших підготовчих робіт не потрібно. Значення xi та y(xi) беруться через одне. Слід лише врахувати, що з першому (точнішому) розрахунку необхідно вибрати таку кількість точок розбиття, яке кратно 4 тобто. ділиться на чотири. Якщо при вибраному вихідному кроці h необхідна точність результату не досягнута, то проводять третє, четверте обчислення з рівним кроком половині вихідного і т.д.

Розіб'ємо відрізок інтегрування [a; b] на 2× n рівних частин довжини. Позначимо точки розбиття x0 = a; x1=x0+h, ... , xi=x0+i× h, ..., x2n=b. Значення функції f у точках xi позначимо yi, тобто. yi = f (xi). Тоді згідно з методом Сімпсона:

Рис 1- Метод парабол (метод Сімпсона)

Геометричний зміст формули Сімпсона: площа криволінійної трапеції під графіком функції f(x) на відрізку [a, b] приблизно замінюється сумою площ фігур, що лежать під параболами на малюнку 1.

Реалізація цього метода у середовищі Lazarus (інформатика, 8-9 класи):

Результат виконання програми:

Код:

procedure TForm1.Button1Click(Sender: TObject);

begin

      a:=StrToFloat(Edit1.Text);

      b:=StrToFloat(Edit2.Text);

       n:=10;

      h:=(b - a)/n;

      s:=0;

      x:=a+h;

      while x<b do

       begin

         s:=s+4*x*x;

         x:=x+h;

         s:=s+2*x*x;

         x:=x+h;

         end;

          s:=h/3*(s+a*a-b*b);

          Edit3.Text:=FloatToStr(s);

end;                                

Проект на Google Disk

Програма