 |
| Задача з підручника Істера |
субота, 12 квітня 2025 р.
Похідна у завданнях ЗНО і НМТ
 | ||
НМТ, 14.06.2024
|
 |
| НМТ, 08.06.2023, 2 зміна |
 |
| НМТ, 13.06.2023, 1 зміна |
 |
| НМТ, 14.06.2023, 2 зміна |
 |
| Завдання ЗНО |
 |
| Завдання ЗНО |
Обчислення інтегралів у Microsoft Mathematics
 |
Ввести формулу функції. Обрати кнпку обчислення похідної. |
Похідна у GeoGebra
Відкрити GeoGebra Класична. Ввести формулу функції.
 |
| Натиснути кнопку обчислення похідної. Обрати графік похідної. |
Обчислення похідної у Advanced Grapher
Advanced Grapher - робота з графіками і функціями. Це досить потужна, але легка у використанні програма. Призначена для побудови графіків, креслення кривих і обчислення функцій. За допомогою цієї програми можна обчислити похідну функції та побудувати графік похідної.
Приклад.
 |
| Вводимо формулу функції. |
Будуємо графік функції.
Обчислюємо похідну
 |
| Графіки функції та її похідної (зеленого кольору). |
Найбільше і найменше значення функції на проміжку
1. Якщо функція неперервна на відрізку, тоді вона досягає на ньому і свого найбільшого, і свого найменшого значень (ця теорема доводиться в курсі вищої математики).
2. Найбільшого і найменшого значень безперервна функція може досягати як на кінцях відрізка, так і всередині нього.
3. Якщо найбільше (або найменше) значення досягається всередині відрізка, тоді тільки в стаціонарній або критичній точці.
Алгоритм знаходження найменшого та найбільшого значень неперервної функції на відрізку :
1. Знайти похідну f'(x).
2. Знайти стаціонарні та критичні точки функції, що лежать всередині відрізка [a;b]
3. Обчислити значення функції y=f(x)
ymax) і найбільше (це буде ymin
Приклад 1.
пʼятниця, 28 лютого 2025 р.
четвер, 20 лютого 2025 р.
Обчислення інтегралів у Lazarus
Метод Сімпсона.
Цей метод більш точний у порівнянні з методами прямокутників та трапецій.
Формула Сімпсона (також Ньютона-Сімпсона) відноситься до прийомів чисельного інтегрування. Отримала назву на честь британського математика Томаса Сімпсона (1710-1761).
Суть прийому полягає у наближенні підінтегральної функції на відрізку [a, b] інтерполяційним многочленом другого ступеня p2(x), тобто наближення графіка функції на відрізку параболою.
Геометрично ілюстрація формули Сімпсона у тому, що у кожному з здвоєних часткових відрізків замінюємо дугу даної кривої дугою графіка квадратного тричлена.
За формулою Сімпсона при деякому етапі h обчислюють інтеграл. Потім крок збільшують удвічі та знову обчислюють інтеграл. Друге, грубіше обчислення інтеграла служить з метою оцінки точності першого, більш точного. Усі цифри першого та другого обчислень збігаються в результаті, а також перша неточна цифра більш точного результату вважаються вірними. Наприклад, якщо точніше обчислення число 1,4673, а друге - 1,4657, то 1,467 - правильне значення інтеграла (у ньому 4-значні цифри - вірні).
Для більш грубого розрахунку ніяких інших підготовчих робіт не потрібно. Значення xi та y(xi) беруться через одне. Слід лише врахувати, що з першому (точнішому) розрахунку необхідно вибрати таку кількість точок розбиття, яке кратно 4 тобто. ділиться на чотири. Якщо при вибраному вихідному кроці h необхідна точність результату не досягнута, то проводять третє, четверте обчислення з рівним кроком половині вихідного і т.д.
Розіб'ємо відрізок інтегрування [a; b] на 2× n рівних частин довжини. Позначимо точки розбиття x0 = a; x1=x0+h, ... , xi=x0+i× h, ..., x2n=b. Значення функції f у точках xi позначимо yi, тобто. yi = f (xi). Тоді згідно з методом Сімпсона:
Рис 1- Метод парабол (метод Сімпсона)
Геометричний зміст формули Сімпсона: площа криволінійної трапеції під графіком функції f(x) на відрізку [a, b] приблизно замінюється сумою площ фігур, що лежать під параболами на малюнку 1.
Реалізація цього метода у середовищі Lazarus (інформатика, 8-9 класи):
Результат виконання програми:
Код:
procedure TForm1.Button1Click(Sender: TObject);
begin
a:=StrToFloat(Edit1.Text);
b:=StrToFloat(Edit2.Text);
n:=10;
h:=(b - a)/n;
s:=0;
x:=a+h;
while x<b do
begin
s:=s+4*x*x;
x:=x+h;
s:=s+2*x*x;
x:=x+h;
end;
s:=h/3*(s+a*a-b*b);
Edit3.Text:=FloatToStr(s);
end;
Проект на Google Disk
середа, 19 лютого 2025 р.
Обчислення визначених інтегралів у системі Maple
Робота в Maple проходить в режимі сесії – користувач вводить команди, вирази або процедури, які сприймаються і обробляються Maple. В кінці кожної команди ставиться або крапка з комою «;» (під відповідним виразом буде виведено результат виконання команди або повідомлення про помилку), або двокрапка «:» (результат не виводиться). Робоче поле поділяється на три частини:
1) область введення – складається з командних рядків. Кожен командний рядок починається з символа «>»;
2) область виведення – містить результати обробки введених команд в вигляді аналітичних виразів, графічних об’єктів або повідомлень про помилку;
3) область текстових коментарів – містить довільну текстову інформацію, яка може пояснити процедури, що обробляються.
Текстові рядки не сприймаються Maple та не обробляються.
Приклад обчислення інтегралів:
Обчислення інтегралів у Microsoft Mathematics
Microsoft Mathematics
Microsoft Mathematics — освітня програма-калькулятор, розроблена для Microsoft Windows, що дозволяє розв'язувати алгебраїчні рівняння та здійснювати побудову 2-D та 3-D графіків. Ця програма буде корисною школярам та студентам при вирішенні завдань з алгебри,геометрії, фізики, статистики та інших дисциплін, що вимагають математичних розрахунків. Програма дозволяє здійснити перегляд покрокового рішення розв'язку рівнянь, обчислення інтегралів, побудови графіків, конвертації величин тощо
Математичні інструменти Microsoft Mathematics:
- Графічний калькулятор — модуль, для побудови 2-D та 3-D графіків в різних системах координат (декартова, полярна, сферична, циліндрична).
- Обчислювач рівнянь — модуль, створений для вирішення одного рівняння або системи рівнянь.
- Бібліотека формул та рівнянь — модуль для пошуку часто вживаних формул з математики та інших галузей науки, їх графічного дослідження, обчислення для конкретної змінної.
- Обчислювач трикутника — модуль для знаходження невідомих сторін та кутів трикутника по відомим.
- Конвертер величин — модуль для перетворення вимірювань з однієї системи одиниць в іншу (довжини, площі, обсягу, ваги, температури, тиску, енергії, сили, швидкості, часу).\
Приклад обчислення інтеграла:
Обчислення визначених інтегралів в GeoGebra
У програмi GeoGebra всi iнтеграли розв’язуються однаково. Програма має простi команди для знаходження як визначених iнтегралiв, так i невизначених iнтегралiв.
Приклад обчислення інтеграла:
Обчислення визначених інтегралів у Advanced Grapher
Комп'ютерна програма Advanced Grapher
Унікальна програма для застосування при вивченні шкільного курсу математики. Дозволяє на одній координатній площині зображувати:
- графіки функцій f(x), f(x+a), f(x-a) a>0
- графіки функцій f(x), f(x)+b, f(x)-b>0
- графіки функцій f(kx+b)+c, |f(kx+b)+c|, f(|kx+b|)+c
- графік y=f(x,, одночасно визначити похідну і побудувати графік похідної;
- рішення систем рівнянь і нерівностей основного і поглибленого рівнів.
Комп'ютерна програма дозволить учням вирішувати дослідницькі завдання: на визначення увігнутості, опуклості кривих, у побудові дотичної і нормалі в будь-якій точки області визначення функції, дослідження точок максимуму і мінімуму, найбільшого і найменшого значень на проміжку, визначення площі фігури, обмеженої лініями.
Продемонструємо, як виконується побудова криволінійних трапецій та обчислення їх площ у
програмі Advanced Grapher на прикладах.
Приклад 1. Знайдіть площу криволінійної трапеції, обмеженої графіком функції
і прямими y 0,= x = -1, x =0.Advanced Grapher Version 2.2), натискаємо кнопку «Добавить график» на панелі
інструментів – на рис.1 ця кнопка підсвічена.
У вікні, що відкрилось (рис. 2), записуємо функцію, яку хочемо побудувати:
1) вибираємо загальний вигляд функції з випадаючого списку (в нашому прикладі необхідні функції вигляду Y(x) та X (y);
2) вносимо рівняння функцій в рядок «Формула»;
3) вибираємо параметри графіка: товщина, стиль лінії та колір. Після того, як рівняння усіхобмежень будуть внесені і побудовані, на екрані ми отримаємо таку картинку (рис. 3).
панелі інструментів (рис. 1) кнопку
Після чого внесемо у вікно, що відкрилось, дані (рис. 4) і натиснемо кнопку «Считать». У рядку «Итог» побачимо чисельний результат для площі заданої трапеції. Натиснувши кнопку «Добавить график» (рис. 4), виберемо варіант штриховки трапеції і на екрані побачимо саму трапецію (рис. 5). Щоб збільшити або зменшити масштаб графіків по осях, є кнопки на панелі інструментів (на рис.5 масштаб збільшений по осях Ох та Оу).
Приклади обчислення інтеграла і площі плоскої фігури:
Підписатися на:
Дописи (Atom)