пʼятниця, 28 лютого 2025 р.

Тиждень безпечного Інтернету

четвер, 20 лютого 2025 р.

Обчислення інтегралів у Lazarus

Метод Сімпсона.

Цей метод більш точний у порівнянні з методами прямокутників та трапецій.

Формула Сімпсона (також Ньютона-Сімпсона) відноситься до прийомів чисельного інтегрування. Отримала назву на честь британського математика Томаса Сімпсона (1710-1761).

Суть прийому полягає у наближенні підінтегральної функції на відрізку [a, b] інтерполяційним многочленом другого ступеня p2(x), тобто наближення графіка функції на відрізку параболою.

Геометрично ілюстрація формули Сімпсона у тому, що у кожному з здвоєних часткових відрізків замінюємо дугу даної кривої дугою графіка квадратного тричлена.

За формулою Сімпсона при деякому етапі h обчислюють інтеграл. Потім крок збільшують удвічі та знову обчислюють інтеграл. Друге, грубіше обчислення інтеграла служить з метою оцінки точності першого, більш точного. Усі цифри першого та другого обчислень збігаються в результаті, а також перша неточна цифра більш точного результату вважаються вірними. Наприклад, якщо точніше обчислення число 1,4673, а друге - 1,4657, то 1,467 - правильне значення інтеграла (у ньому 4-значні цифри - вірні).

Для більш грубого розрахунку ніяких інших підготовчих робіт не потрібно. Значення xi та y(xi) беруться через одне. Слід лише врахувати, що з першому (точнішому) розрахунку необхідно вибрати таку кількість точок розбиття, яке кратно 4 тобто. ділиться на чотири. Якщо при вибраному вихідному кроці h необхідна точність результату не досягнута, то проводять третє, четверте обчислення з рівним кроком половині вихідного і т.д.

Розіб'ємо відрізок інтегрування [a; b] на 2× n рівних частин довжини. Позначимо точки розбиття x0 = a; x1=x0+h, ... , xi=x0+i× h, ..., x2n=b. Значення функції f у точках xi позначимо yi, тобто. yi = f (xi). Тоді згідно з методом Сімпсона:

Рис 1- Метод парабол (метод Сімпсона)

Геометричний зміст формули Сімпсона: площа криволінійної трапеції під графіком функції f(x) на відрізку [a, b] приблизно замінюється сумою площ фігур, що лежать під параболами на малюнку 1.

Реалізація цього метода у середовищі Lazarus (інформатика, 8-9 класи):

Результат виконання програми:

Код:

procedure TForm1.Button1Click(Sender: TObject);

begin

a:=StrToFloat(Edit1.Text);

b:=StrToFloat(Edit2.Text);

n:=10;

h:=(b - a)/n;

s:=0;

x:=a+h;

while x<b do

begin

s:=s+4*x*x;

x:=x+h;

s:=s+2*x*x;

x:=x+h;

end;

s:=h/3*(s+a*a-b*b);

Edit3.Text:=FloatToStr(s);

end;

Проект на Google Disk

Програма

середа, 19 лютого 2025 р.

Обчислення визначених інтегралів у системі Maple

Робота в Maple проходить в режимі сесії – користувач вводить команди, вирази або процедури, які сприймаються і обробляються Maple. В кінці кожної команди ставиться або крапка з комою «;» (під відповідним виразом буде виведено результат виконання команди або повідомлення про помилку), або двокрапка «:» (результат не виводиться). Робоче поле поділяється на три частини:

1) область введення – складається з командних рядків. Кожен командний рядок починається з символа «>»;

2) область виведення – містить результати обробки введених команд в вигляді аналітичних виразів, графічних об’єктів або повідомлень про помилку;

3) область текстових коментарів – містить довільну текстову інформацію, яка може пояснити процедури, що обробляються.

Текстові рядки не сприймаються Maple та не обробляються.

Приклад обчислення інтегралів:

Обчислення інтегралів у Microsoft Mathematics

Microsoft Mathematics

Microsoft Mathematics — освітня програма-калькулятор, розроблена для Microsoft Windows, що дозволяє розв'язувати алгебраїчні рівняння та здійснювати побудову 2-D та 3-D графіків. Ця програма буде корисною школярам та студентам при вирішенні завдань з алгебри,геометрії, фізики, статистики та інших дисциплін, що вимагають математичних розрахунків. Програма дозволяє здійснити перегляд покрокового рішення розв'язку рівнянь, обчислення інтегралів, побудови графіків, конвертації величин тощо

Математичні інструменти Microsoft Mathematics:

Графічний калькулятор — модуль, для побудови 2-D та 3-D графіків в різних системах координат (декартова, полярна, сферична, циліндрична).
Обчислювач рівнянь — модуль, створений для вирішення одного рівняння або системи рівнянь.
Бібліотека формул та рівнянь — модуль для пошуку часто вживаних формул з математики та інших галузей науки, їх графічного дослідження, обчислення для конкретної змінної.
Обчислювач трикутника — модуль для знаходження невідомих сторін та кутів трикутника по відомим.
Конвертер величин — модуль для перетворення вимірювань з однієї системи одиниць в іншу (довжини, площі, обсягу, ваги, температури, тиску, енергії, сили, швидкості, часу).\

Приклад обчислення інтеграла:

Обчислення визначених інтегралів в GeoGebra

У програмi GeoGebra всi iнтеграли розв’язуються однаково. Програма має простi команди для знаходження як визначених iнтегралiв, так i невизначених iнтегралiв.

Приклад обчислення інтеграла:

Обчислення визначених інтегралів у Advanced Grapher

Комп'ютерна програма Advanced Grapher

Унікальна програма для застосування при вивченні шкільного курсу математики. Дозволяє на одній координатній площині зображувати:

графіки функцій f(x), f(x+a), f(x-a) a>0
графіки функцій f(x), f(x)+b, f(x)-b>0
графіки функцій f(kx+b)+c, |f(kx+b)+c|, f(|kx+b|)+c
графік y=f(x,, одночасно визначити похідну і побудувати графік похідної;
рішення систем рівнянь і нерівностей основного і поглибленого рівнів.

Комп'ютерна програма дозволить учням вирішувати дослідницькі завдання: на визначення увігнутості, опуклості кривих, у побудові дотичної і нормалі в будь-якій точки області визначення функції, дослідження точок максимуму і мінімуму, найбільшого і найменшого значень на проміжку, визначення площі фігури, обмеженої лініями.

Продемонструємо, як виконується побудова криволінійних трапецій та обчислення їх площ у
програмі Advanced Grapher на прикладах.
Приклад 1. Знайдіть площу криволінійної трапеції, обмеженої графіком функції

і прямими y 0,= x = -1, x =0.

Розв’язання: Після відкриття програми Advanced Grapher (користуюсь версією
Advanced Grapher Version 2.2), натискаємо кнопку «Добавить график» на панелі
інструментів – на рис.1 ця кнопка підсвічена.

У вікні, що відкрилось (рис. 2), записуємо функцію, яку хочемо побудувати:

1) вибираємо загальний вигляд функції з випадаючого списку (в нашому прикладі необхідні функції вигляду Y(x) та X (y);

2) вносимо рівняння функцій в рядок «Формула»;

3) вибираємо параметри графіка: товщина, стиль лінії та колір. Після того, як рівняння усіхобмежень будуть внесені і побудовані, на екрані ми отримаємо таку картинку (рис. 3).

Для того щоб візуально побачити цю трапецію і обчислити її площу, натиснемо на
панелі інструментів (рис. 1) кнопку

Після чого внесемо у вікно, що відкрилось, дані (рис. 4) і натиснемо кнопку «Считать». У рядку «Итог» побачимо чисельний результат для площі заданої трапеції. Натиснувши кнопку «Добавить график» (рис. 4), виберемо варіант штриховки трапеції і на екрані побачимо саму трапецію (рис. 5). Щоб збільшити або зменшити масштаб графіків по осях, є кнопки на панелі інструментів (на рис.5 масштаб збільшений по осях Ох та Оу).